Question

（2013•湛江一模）已知函数f（x）=e^x-1，g(x)=

x

+x，其中e是自然对数的底，e=2.71828…．
（1）证明：函数h（x）=f（x）-g（x）在区间（1，2）上有零点；
（2）求方程f（x）=g（x）根的个数，并说明理由；
（3）若数列{a_n}（n∈N*）满足a₁=a（a＞0）（a为常数），a_n+1³=g（a_n），证明：存在常数M，使得对于任意n∈N*，都有a_n≤M．

Answer 1

分析：（1）直接利用零点存在定理证明函数h（x）=f（x）-g（x）在区间（1，2）上有零点即可；
（2）通过方程f（x）=g（x）构造函数h（x）=e^x-1-

x

-x，利用函数的导数以及函数的单调性，结合零点存在定理说明方程根的个数；
（3）直接利用数学归纳法的证明步骤，证明存在常数M=max{x₀，a}，使得对于任意的n∈N^*，都有a_n≤M．

解答：解：（1）证明：由h（x）=f（x）-g（x）=e^x-1-

x

-x，得：
h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2-

2

＞0，
所以函数h（x）在区间（1，2）上有零点．
（2）由（1）得：h（x）=e^x-1-

x

-x，
由g(x)=

x

+x知，x∈[0，+∞），而h（0）=0，则x=0为h（x）的一个零点，且h（x）在（1，2）内有零点，
因此h（x）至少有两个零点．
所以h′(x)=ex-

1

2

x-

1

2

-1，记φ（x）=ex-

1

2

x-

1

2

-1，则φ′(x)=ex+

1

4

x-

3

2

．
当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，因此φ（x）在（0，+∞）上单调递增，则φ（x）在（0，+∞）内至多只有一个零点．h（x）有且只有两个零点．
所以，方程f（x）=g（x）根的个数为2．
（3）记h（x）的正零点为x₀，即ex0-1=x0+

x0

．
（1）当a＜x₀时，由a₁=a，即a₁＜x₀．而a23=a1+

a1

＜x0+

x0

=ex0-1，因此a₂＜x₀，由此猜测：a_n＜x₀．下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁＜x₀显然成立；
②假设当n=k（k≥1）时，有a_k＜x₀成立，则当n=k+1时，由ak+13=ak+

ak

＜x0+

x0

=ex0-1知，a_k+1＜x₀，因此，当n=k+1时，a_k+1＜x₀成立．
故对任意的n∈N^*，a_n＜x₀成立．
（2）当a≥x₀时，由（1）知，h（x）在（x₀，+∞）上单调递增．则h（a）≥h（x₀）=0，即a3≥a+

a

．从而a23=a1+

a1

=a+

a

≤a3，即a₂≤a，由此猜测：a_n≤a．下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁≤a显然成立；
②假设当n=k（k≥1）时，有a_k≤a成立，则当n=k+1时，由ak+13=ak+

ak

≤a+

a

≤a3知，a_k+1≤a，因此，当n=k+1时，a_k+1≤a成立．
故对任意的n∈N^*，a_n≤a成立．
综上所述，存在常数M=max{x₀，a}，使得对于任意的n∈N^*，都有a_n≤M．

点评：本题考查函数的零点存在定理的应用，数学归纳法的证明方法以及函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．