Question

已知数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是各项均为正数的等比数列，a₁=b₁=1且a₄+b₄=15，a₇+b₇=77．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n•b_n}的前n项和为S_n，求满足n•2ⁿ⁺¹-S_n＞90的最小正数n．

Answer 1

分析：（1）利用基本量求出q=2，d=2，（2）对于等差数列和等比数列相乘形式数列，一般采取错位相减的办法求数列的前n项和．

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则

1+3d+q3=15 1+6d+q6=77

解得q⁶-2q³-48=0，从而q=2，d=2，所以a_n=2n-1，b_n=2^n-1
（2）s_n=1×1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，则2s_n=1×2+3×2²+…+（2n-1）•2ⁿ
两式相减得-S_n=2（1+2+2²+2^n-1）-1-（2n-1）×2ⁿ
所以S_n=n×2ⁿ⁺¹-3×2ⁿ+3
又满足n•2ⁿ⁺¹-S_n＞90，所以2ⁿ＞31
所以最小证整数为5．

点评：本题考查数列的性质和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．对于等差数列和等比数列相乘形式数列，一般采取错位相减的办法求数列的前n项和，一定要熟练掌握．