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在路边安装路灯,灯柱OA的高为h,路宽OC为23米,灯杆AB的长为2.5米,且与灯柱OA成120°角.路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线BD与灯杆AB垂直.请你建立适当的直角坐标系,解决以下问题:
(1)当h=10米时,求灯罩轴线BD所在的直线方程;
(2)当h为多少米时,灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线.
分析:(1)以灯柱底端O点为原点,灯柱OA所在直线为y轴,路宽OC所在直线为x轴,建立直角坐标系,则可得点A,C,B的坐标,利用BD⊥AB,即可确定BD的方程;
(2)设路面中线与路宽OC的交点为D,则点D的坐标为(11.5,0),由(1)可得BD的方程为y-(h+1.25)=-
3
(x-1.25
3
),将D的坐标(11.5,0),即可求得h的值.
解答:解:(1)以灯柱底端O点为原点,
灯柱OA所在直线为y轴,
路宽OC所在直线为x轴,
建立如图所示的直角坐标系,(2分)
则A点的坐标为(0,h),
C点的坐标为(23,0),…(3分)
因为灯杆AB与灯柱OA成120°角,
所以AB的倾斜角为30°,则B点的坐标为(2.5cos30°,h+2.5sin30°),
即(1.25
3
,h+1.25).--------------------------------------------------------------------(5分)
因为BD⊥AB,所以kBD=-
1
kAB
=-
3
,…(7分)
当h=10时,B点的坐标为(1.25
3
,11.25),
此时BD的方程为y-11.25=-
3
(x-1.25
3
),即
3
x+y-15=0
   …(10分)
(2)设路面中线与路宽OC的交点为D,则点D的坐标为(11.5,0).      …(11分)
由(1)可得BD的方程为y-(h+1.25)=-
3
(x-1.25
3

将D的坐标(11.5,0),代入可得:-(h+1.25)=-
3
(x-1.25
3

∴h=11.5
3
-5(米).
点评:本题考查直线方程,考查直线方程的运用,解题的关键是建立坐标系,确定点的坐标.
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(1)求灯柱的高h(用θ表示);
(2)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同,记此用料长度和为S,求S关于θ的函数表达式,并求出S的最小值.

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