Question

在路边安装路灯，灯柱OA的高为h，路宽OC为23米，灯杆AB的长为2.5米，且与灯柱OA成120°角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线BD与灯杆AB垂直．请你建立适当的直角坐标系，解决以下问题：
（1）当h=10米时，求灯罩轴线BD所在的直线方程；
（2）当h为多少米时，灯罩轴线BD正好通过道路路面的中线．

Answer 1

解：（1）以灯柱底端O点为原点，
灯柱OA所在直线为y轴，
路宽OC所在直线为x轴，
建立如图所示的直角坐标系，
则A点的坐标为（0，h），C点的坐标为（23，0），
因为灯杆AB与灯柱OA成120°角，所以AB的倾斜角为30°，
则B点的坐标为（2.5cos30°，h+2.5sin30°），即（1.25，h+1.25）．
因为BD⊥AB，所以，
当h=10时，B点的坐标为（1.25，11.25），
此时BD的方程为y﹣11.25=﹣（x﹣1.25），即  
（2）设路面中线与路宽OC的交点为D，则点D的坐标为（11.5，0）．      
由（1）可得BD的方程为y﹣（h+1.25）=﹣（x﹣1.25）
将D的坐标（11.5，0），代入可得：
﹣（h+1.25）=﹣（x﹣1.25）
∴h=11.5﹣5（米）．