Question

如图，A、B为半椭圆

y2

4

+x2=1(y≥0)的两个顶点，F为上焦点，将半椭圆和线段AB合在一起称为曲线C．
（1）求△ABF的外接圆圆心；
（2）过焦点F的直线L与曲线C交于P、Q两点，若|PQ|=2，求所有满足条件的直线L；
（3）对于一般的封闭曲线，曲线上任意两点距离的最大值称为该曲线的“直径”．如圆的“直径”就是通常的直径，椭圆的“直径”就是长轴的长．求该曲线C的“直径”．

Answer 1

分析：（1）先判断△ABF的形状，为边长为2的等边三角形，再利用等边三角形的性质求圆心坐标即可．
（2）先讨论P，Q点的位置，只能两点都在椭圆上，设出PQ方程，与椭圆方程联立，解x₁+x₂，x₁x₂，用弦长公式求出
|PQ|的长，用含k的式子表示，根据|PQ|=2，就可求出k值．
（3）先设曲线C上两动点的坐标，代入两点间距离公式，再根据利用放缩法，以及椭圆上点的范围即可求出两点连线的范围，求出“直径”长．

解答：解：（1）A（-1，0），B（1，0），F（0，

3

），故△ABF是边长为2的等边三角形，外接圆半径R=

2 3

3

，故圆心为（0，

3

3

）    
（2）记椭圆的上顶点为D（0，2），若直线L与曲线C的两交点一个在椭圆上，一个在线段AB上，
如图．因为FQ≥FD，FP≥FO，即此时|PQ|≥|OD|=2，
故只有直线x=0符合题意；
设点P、Q都在椭圆上，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直线L：y=kx+

3

，则

y2 4 +x2=1 y=kx+3

⇒（k²+4）x²+2

3

kx-1=0

x1+x2=- 2 3 k k2+4 x1x2=- 1 k2+4

⇒（x₁-x₂）²=

16(k2+1)

(k2+4)2

所以|PQ|=

k2+1

| x1-x2|=

4(k2+1)

(k2+4)2

=2，得k=±

2

经检验，满足题意的直线L有三条，分别为x=0，y=

2

x+

3

，y=-

2

x+

3

（3）设曲线C上两动点G（x，y），H（x₀，y₀），
显然G、H至少有一点在椭圆上时GH才能取得最大，不妨设y≥y₀≥0，则
|GH|²=（x-x₀）²+（y-y₀）²≤（x-x₀）²+y²=（x-x₀）²+4（1-x²）
=-3x²-2x₀x+x₀²+4=-3(x+

x0

3

)2+

4x02

3

+4≤

4x02

3

+4≤

4

3

+4=

16

3

等号成立时G（

4 2

3

，

1

3

），H（-1，0）或G（-

4 2

3

，

1

3

），H（1，0），故曲线C的直径为

4 3

3

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线相交时弦长公式的应用，韦达定理的应用，两点间距离公式的应用．