Question

（1）已知：a，b，x均是正数，且a＞b，求证：1＜

a+x

b+x

＜

a

b

；
（2）当a，b，x均是正数，且a＜b，对真分数

a

b

，给出类似上小题的结论，并予以证明；
（3）证明：△ABC中，

sinA

sinB+sinC

+

sinB

sinC+sinA

+

sinC

sinA+sinB

＜2（可直接应用第（1）、（2）小题结论）
（4）自己设计一道可直接应用第（1）、（2）小题结论的不等式证明题．

Answer 1

分析：（1）充分利用a＞b这个条件，结合不等式的基本性质即可证得；
（2）对（1）问的结论取倒数即可得；
（3）欲证原不等式，即证：

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜2.利用放缩法进行证明即可；
（4）运用类比推理的方法得结论即可．

解答：解：（1）∵a+x＞b+x＞0，∴1＜

a+x

b+x

，
又

a+x

b+x

-

a

b

=

x(b-a)

b(b+x)

＜0，∴1＜

a+x

b+x

＜

a

b

.（3分）
（2）∵a＜b，∴

b

a

＞1，应用第（1）小题结论，
得1＜

b+x

a+x

＜

b

a

，取倒数，得

b

a

＜

b+x

a+x

＜1.（6分）
（3）由正弦定理，原题?△ABC中，求证：

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜2.
证明：由（2）的结论得，a，b，c＞0，
且

a

b+c

，

b

c+a

，

c

a+b

均小于1，
∴

a

b+c

＜

2a

a+b+c

，

b

c+a

＜

2b

a+b+c

，

c

a+b

＜

2c

a+b+c

，

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜

2a

a+b+c

+

2b

a+b+c

+

2c

a+b+c

=2.（10分）
（4）如得出：四边形ABCD中，求证：

a

b+c+d

+

b

c+d+a

+

c

a+b+d

+

d

a+b+c

＜2.
如得出：凸n边形A₁A₂A₃┅A_n中，边长依次为a₁，a₂，，a_n，求证：

a1

a2+a3++an

+

a2

a1+a3++an

++

an

a1+a2++an-1

＜2.
如得出：{a_n}为各项为正数的等差数列，（d≠0），
求证：

a1

a2

+

a2

a3

++

a2n-1

a2n

＜

a2

a3

+

a4

a5

++

a2n

a2n+1

．（14分）

点评：本题主要考查了不等式的证明、放缩法和类比思想，在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候，可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A＞B，我们可以适当的找一个中间量C作为媒介，证明A＞C且C＞B，从而得到A＞B．我们把这种把B放大到C（或把A缩小到C）的方法称为放缩法．