Question

（08年汕头金山中学理） 设数列{a_n}的各项都是正数,且对任意都有a₁³+a₂³+ a₃³+…+ a_n³=S_n²,其中S_n为数列{a_n}的前n项和.

   (1)求证:a_n²=2S_n-a_n;     

   (2)求数列{a_n}的通项公式;

   (3)设b_n=3ⁿ+(-1)^n-1λ?(λ为非零整数, ),试确定λ的值,使得对任意,都有b_n+1>b_n成立.

Answer 1

解析: (1)由已知,当n=1时,a₁³=a₁²,  

∵a₁>0,  ∴ a₁=1

   当n≥2时, a₁³+a₂³+ a₃³+…+ a_n³=S_n²,              ①

　 a₁³+a₂³+ a₃³+…+ a_n-1³=S_n-1²,            ②

   由①-②得, a_n³= S_n²- S_n-1²= a_n(2S_n-1+a_n)

   ∵a_n>0,  ∴ a_n²=2S_n-1+a_n,即a_n²=2S_n-a_n,

    当n=1时, a₁=1适合上式,       ∴ a_n²=2S_n-a_n

  (2)由(1)知, a_n²=2S_n-a_n                                     ③

当n≥2时, a_n-1²=2S_n-1-a_n-1                        ④

   由③-④得, a_n² -a_n-1²=2(S_n- S_n-1)-a_n+a_n-1= a_n+a_n-1

   ∵a_n>0  ∴a_n-a_n-1=1,  

 因此,数列{ a_n }是首项为1,公差为1的等差数列, 故得a_n=n.

(3)∵a_n=n_, ∴ b_n=3ⁿ+(-1)^n-1λ?.      要使b_n+1>b_n恒成立,

即,使b_n+1-b_n=3ⁿ⁺¹+(-1)ⁿλ?-3ⁿ-(-1)^n-1λ?=2×3ⁿ-3λ(-1)^n-1?2ⁿ>0恒成立,