Question

已知{a_n}是公比大于1的等比数列，它的前3项和S₃=7，且a₁+3、3a₂、a₃+4构成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）令bn=

5	(log2a2n)•(log2a2(n+1))

，数列{b_n}的前n项是T_n，若对于任意正整数n，都有T_n＜m（m∈Z）成立，求m的最小值．

Answer 1

分析：（I）由a₁+3、3a₂、a₃+4构成等差数列，得到（a₁+3）+（a₃+4）=2（3a₂），又S₃=7，得到前三项之和等于7，两者联立即可求出第2项的值，然后设出等比数列的公比为q，利用等比数列的性质利用第2项表示出首项和第3项，代入S₃=7中列出关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，根据q大于1，得到满足题意q的值，然后根据q的值求出等比数列的首项，利用首项和q写出数列{a_n}的通项公式即可；
（II）利用（I）求出的数列{a_n}的通项公式，求出a_2n和a_2（n+1），代入bn=

5

(log2a2n)•(log2a2(n+1))

中化简后，得到b_n的通项公式，根据通项公式列举出数列的各项，抵消化简后得到T_n的通项公式，根据n取正整数得到T_n的最大值，即可得到使T_n＜m成立的整数m的最小值．

解答：解：（I）由已知得：

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2

，解得a₂=2，
设数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，可得a1=

2

q

，a3=2q，
又S₃=7，可知2q²-5q+2=0，解得q1=2，q2=

1

2

，
由题意得q＞1，∴q=2．∴a₁=1，故数列{a_n}的通项为a_n=2^n-1；
（II）由于bn=

5

(log222n-1)(log222n+1)

=

5

(2n-1)(2n+1)

=

5

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，Tn=

5

2

(

1

1

-

1

3

)+

5

2

(

1

3

-

1

5

)+…+

5

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

5n

2n+1

，
∵

5n

2n+1

=

n+ 1 2 - 1 2

2n+1

=

5

2

-

5

4n+2

＜

5

2

，
∴使T_n＜m成立的整数m的最小值是3．

点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，会进行数列的求和，是一道综合题．