Question

2．已知点G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）．在x轴上有一点M，满足|$\overrightarrow{MA}$|=|$\overrightarrow{MC}$|，$\overrightarrow{GM}$=λ$\overrightarrow{AB}$（λ∈R）（若△ABC的顶点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），则该三角形的重心坐标为G（$\frac{{{x_1}+{x_2}+{x_3}}}{3}$，$\frac{{{y_1}+{y_2}+{y_3}}}{3}$）．
（1）求点C的轨迹E的方程；
（2）若斜率为k的直线l与（1）中的曲线E交于不同的两点P、Q，且|$\overrightarrow{AP}$|=|$\overrightarrow{AQ}$|，试求斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设C（x，y），求出G的坐标，根据|$\overrightarrow{MA}$|=|$\overrightarrow{MC}$|，$\overrightarrow{GM}$=λ$\overrightarrow{AB}$，得到关于x，y的方程，整理即可；
（2）通过讨论k=0和k≠0，结合二次函数的性质求出k的具体范围即可．

解答 解：（1）设C（x，y），则$G（\frac{x}{3}，\frac{y}{3}）$．…（1分）
∵$\overrightarrow{GM}=λ\overrightarrow{AB}（λ∈R）$，∴$GM∥AB．又M是x轴上一点，则M（\frac{x}{3}，0）．又∵|\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{MC}|$，∴$\sqrt{{{（\frac{x}{3}）}^2}+{{（0+1）}^2}}=\sqrt{{{（\frac{x}{3}-x）}^2}+{y^2}}．整理得\frac{x^2}{3}+{y^2}=1（x≠0）$．…（4分）
（2）①当k=0时，l与椭圆C有两个不同的交点P、Q，
根据椭圆的对称性，有$|\overrightarrow{AP}|=|\overrightarrow{AQ}|$，符合题意．…（5分）
②当$k≠0时，可设l的方程为y=kx+m，联立方程组\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{3}+{y^2}=1\end{array}\right.消去y整理，得$：
（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0．（*），
∵直线l和椭圆交于不同的两点，
∴△=（6km）²-4（1+3k²）×3（m²-1）＞0．
即1+3k²-m²＞0．（**）…（8分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁、x₂是方程（*）的两相异实根．
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{6km}{{1+3{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{3（{m^2}-1）}}{{1+3{k^2}}}$．
则PQ的中点N（x₀，y₀）的坐标是${x_0}=-\frac{3km}{{1+3{k^2}}}，{y_0}=\frac{m}{{1+3{k^2}}}$
即$N（-\frac{3km}{{1+3{k^2}}}$$\frac{m}{{1+3{k^2}}}$），又$|\overrightarrow{AP}|=|\overrightarrow{AQ}|$，
∴AN⊥PQ．∴$m=\frac{{1+3{k^2}}}{2}$．…（10分）
将$m=\frac{{1+3{k^2}}}{2}$代入（**）式，得k²＜1．
∴k∈（-1，0）∪（0，1）．
综上①②，得k的取范围是（-1，1）．…（12分）

点评 本题考查了求曲线方程问题，考查分类讨论思想以及二次函数的性质，考查学生综合运算的能力，是一道综合题．