Question

11．已知x，y，z均为非负数且x+y+z=2，则$\frac{1}{3}$x³+y²+z的最小值为$\frac{13}{12}$．

Answer 1

分析 利用导函数研究单调性，求其最小值即可．

解答 解：∵x＞，y＞，z＞0，且x+y+z=2，
∴Z=2-x-y，即x+y≤2．
那么：令函数h=$\frac{1}{3}$x³+y²+z=$\frac{1}{3}$x³+y²+2-x-y．
令f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x，
则f′（x）=x²-1，
当x在（0，1）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上是单调递减；
当x在（1，2）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，2）上是单调递增；
∴f（x）_min=f（1）
同理：令g（y）=y²-y
则g′（y）=2y-1，
当y在（0，$\frac{1}{2}$）时，g′（y）＜0，∴g（y）在（0，$\frac{1}{2}$）上是单调递减；
当y在（1，2）时，g′（y）＞0，∴g（y）在（$\frac{1}{2}$，2）上是单调递增；
∴g（y）_min=g（$\frac{1}{2}$）
故当x=1，y=$\frac{1}{2}$时，函数h取得最小值，即h=$\frac{1}{3}-1$$+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+2$=$\frac{13}{12}$，
故答案为：$\frac{13}{12}$．

点评 本题考查了利用导函数研究单调性，求其最小值．属于中档题．