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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知曲线C：xy=1，过C上一点A1（x1，y1）作斜率k1的直线，交曲线C于另一点A2（x2，y2），再过A2（x2，y2）作斜率为k2的直线，交曲线C于另一点A3（x3，y3），…，过An（xn，yn）作斜率为kn的直线，交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1）…，其中x1=1，kn=-
    xn+1
    x
    2
    n
    +4xn
    (x∈N*)
    （1）求xn+1与xn的关系式；
    （2）判断xn与2的大小关系，并证明你的结论；
    （3）求证：|x1-2|+|x2-2|+…+|xn-2|＜2．
    分析：（1）过An（xn，yn）斜率为-
    xn+1
    x
    2
    n
    +4xn
    的直线为y-yn=-
    xn+1
    x
    2
    n
    +4xn
    （x-xn），An+1在直线上，化简即可求xn+1与xn的关系式；
    （2）利用（1）的结论，分当n为奇数时，判断xn＜2；当n为偶数时，判断xn＞2，然后推理证明的结论；
    （3）利用xn+1=
    xn+4
    xn+1
    =1+
    3
    xn+1
    ，再利用放缩法，推出|xn-2|≤
    1
    2n-1
    ，再证明|x1-2|+|x2-2|+…+|xn-2|＜2．
    解答：解：（1）由已知过An（xn，yn）斜率为-
    xn+1
    x
    2
    n
    +4xn
    的直线为y-yn=-
    xn+1
    x
    2
    n
    +4xn
    （x-xn），
    直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1）
    所以yn+1-yn=-
    xn+1
    x
    2
    n
    +4xn
    （xn+1-xn）（2分）
    即
    1
    xn+1
    -
    1
    xn
    =-
    xn+1
    x
    2
    n
    +4xn
    （xn+1-xn），xn+1-xn≠0，
    所以xn+1=
    xn+4
    xn+1
    (n∈N*)    （4分）
    （2）解：当n为奇数时，xn＜2；当n为偶数时，xn＞2（5分）
    因为xn-2=
    xn-1+4
    xn-1+1
    -2=-
    xn-1-2
    xn-1+1
    ，（6分）
    注意到xn＞0，所以xn-2与xn-1-2异号
    由于x1=1＜2，所以x2＞2，以此类推，
    当n=2k-1（k∈N*）时，xn＜2；
    当n=2k（k∈N*）时，xn＞2（8分）
    （3）由于xn＞0，xn+1=
    xn+4
    xn+1
    =1+
    3
    xn+1
    ，
    所以xn≥1（n=1，2，3，）（9分）
    所以|xn+1-2|=|
    xn-2
    xn+1
    |=
    |xn-2|
    |xn+1|
    ≤
    1
    2
    |xn-2|    （10分）
    所以|xn-2|≤
    1
    2
    |xn-1-2|    ≤
    1
    22
    |xn-2-2|    ≤…≤
    1
    2n-1
    |x1-2|=
    1
    2n-1
    （12分）
    所以|x1-2|+|x2+2|+…+|xn-2|≤1+
    1
    2
    +(
    1
    2
    )    2    +…+(
    1
    2
    )    n-1    =2-(
    1
    2
    )n-1＜2    （14分）
    点评：本题考查直线的斜率，不等式的证明，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
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    1
    xn+2
    的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点列An（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{xn}，其中x1=
    11
    7
    ．
    （1）求xn与xn+1的关系式；
    （2）求证：{
    1
    xn-2
    +
    1
    3
    }是等比数列；
    （3）求证：（-1）x1+（-1）2x2+（-1）3x3+…+（-1）nxn＜1（n∈N，n≥1）．

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    1
    xn+2
    的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1）．
    （1）求xn与xn+1之间的关系式；
    （2）若x1=
    11
    7
    ，求证：数列
    1
    xn-2
    +
    1
    3
    是等比数列；
    （3）求证：（-1）x1+（-1）2x2+（-1）3x3+…（-1）nxn＜1（n∈N*）

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    1
    xn+2
    的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点列{An}的横坐标构成数列{xn}，其中x1=
    11
    7
    ．
    （I）求xn与xn+1的关系式；
    （II）令bn=
    1
    xn-2
    +
    1
    3
    ，求证：数列{bn}是等比数列；
    （III）若cn=3n-λbn（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．

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