Question

如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC₁F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC₁=3，BE=1．
（Ⅰ）求BF的长；
（Ⅱ）求二面角E-FC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由长方体的几何特征，我们可以建立空间坐标系，设出F点的坐标，我们易根据截面AEC₁F为平行四边形，

AF

=

EC1

，得到F点的坐标；
（II）我们分别求出平面EFC₁及平面FC₁C的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角E-FC₁-C的余弦值．

解答：解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0）A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C₁（0，4，3）设F（0，0，z）．
∵AEC₁F为平行四边形，
∴

AF

=

EC1

即（-2，0，z）=（-2，0，2），∴z=2．
∴F（0，0，2）．
∴

EF

=(-2，-4，2)．于是|

BF

|=2

6

，即BF的长为2

6

．
（II）设

n1

为平面AEC₁F的法向量且

n1

=（x，y，z）
由

n1 • AE =0 n1 • AF =0

得

0×x+4×y+z=0 -2×x+0×y+2z=0

即

4y+z=0 -2x+2z=0

令z=1∴

x=1 y=- 1 4 .

平面FCC1的法向量为

AD

=（-2，0，0）
设二面角E-FC₁-C为α，则cosα=

| AD • n1 |

| AD |•| n1 |

=

2

2× 1+ 1 16 +1

=

4 33

33

．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，空间中点的坐标，其中（I）的关键是根据平行四边形法则，得到

AF

=

EC1

，（II）的关键是求出平面EFC₁及平面FC₁C的法向量将二面角问题转化为向量夹角问题．