Question

设实数x，y满足 

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

，则u=

x2+y2

xy

的取值范围是（　　）

• A、[2，

  5

  2

  ]
• B、[

  5

  2

  ，

  10

  3

  ]
• C、[2，

  10

  3

  ]
• D、[

  1

  4

  ，4]

Answer 1

分析：先根据约束条件画出可行域，设 z=

x2+y2

xy

，再利用z的几何意义求最值，z=

x2+y2

xy

表示的是区域内的点与点O连线的斜率．故 z的最值问题即为直线的斜率的最值问题．只需求出直线OQ过可行域内的点A时，从而得到z的最大值即可．

解答：解：作出可行域如图阴影部分所示：
目标函数 z=

x2+y2

xy

═

1

y x

+ 

y

x

≥2
当且仅当

y

x

=1时，z最小，最小值为：2．
又其中

y

x

可以认为是原点（0，0）与可行域内一点（x，y）连线OQ的斜率．
其最大值为：2，最小值为：

1

3

，
因此 z=

x2+y2

xy

的最大值为

10

3

，
则目标函数 则u=

x2+y2

xy

的取值范围是[2，

10

3

]
故选C．

点评：巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．