Question

设椭圆M：＝1(a＞)的右焦点为F₁，直线l：x＝与x轴交于点A，若(其中O为坐标原点)．

(1)求椭圆M的方程；

(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x²＋(y－2)²＝1的任意一条直径(E、F为直径的两个端点)，求·的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由题设知，，，1分 　　由，得．3分 　　解得． 　　所以椭圆的方程为；4分 　　(2)方法1：设圆的圆心为， 　　则；6分 　　；7分 　　；8分 　　从而求的最大值转化为求的最大值；9分 　　因为是椭圆上的任意一点，设，10分 　　所以，即；11分 　　因为点，所以；12分 　　因为，所以当时，取得最大值12；13分 　　所以的最大值为11；14分 　　方法2：设点， 　　因为的中点坐标为，所以；6分 　　所以；7分 　　 　　 　　；9分 　　因为点在圆上，所以，即；10分 　　因为点在椭圆上，所以，即；11分 　　所以；12分 　　因为，所以当时，；14分 　　方法3：①若直线的斜率存在，设的方程为；6分 　　由，解得；7分 　　因为是椭圆上的任一点，设点， 　　所以，即；8分 　　所以，；9分 　　所以；10分 　　因为，所以当时，取得最大值11；11分 　　②若直线的斜率不存在，此时的方程为， 　　由，解得或． 　　不妨设，，；12分 　　因为是椭圆上的任一点，设点， 　　所以，即． 　　所以，． 　　所以． 　　因为，所以当时，取得最大值11；13分 　　综上可知，的最大值为11．(14分)