Question

已知函数．
（1）求证：函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（2）当时，求函数在上的最值；
（3）函数f（x）在[1，2]上恒有f（x）≥3成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）证明：设x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，+∞），则x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0．（1分）
∵f（x₂）-f（x₁）═，
∴f（x₂）＞f（x₁）．（3分）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．（4分）
（2）当时，；
由（1）知函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．（5分）
∴（7分）
∴f（x）的最小值为，此时；无最大值．（8分）
（3）依题意，，即在[1，2]上恒成立．
∵函数在[1，2]上单调递减，∴g（x）_max=4（11分）
∴，又a＞0．∴，a的取值范围是．（14分）
分析：（1）要证明函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，利用定义证明任意x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，+∞），有f（x₂）＞f（x₁）
（2）结合（1）考查函数的单调性．利用单调性判断函数的值域
（3）由，可得在[1，2]上恒成立，构造函数，通过研究函数g（x）在[1，2]上单调性，从而求函数的最大值，而a≥g（x）_max，从而可求a
点评：本题主要考查了利用定义法证明函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值（或值域），函数的恒成立问题转化为求函数的最值问题，体现了转化思想在解题中的应用．