Question

9．设方程ax²+2x+1=0（a∈R）的根是集合A的元素，求集合A的元素个数．

Answer 1

分析 分类讨论，集合A={x|ax²+2x+1=0，a∈R}只有一个元素，根据集合元素的确定性，我们可以将问题转化为：关于x的方程ax²+2x+1=0有且只有一个解，分类讨论二次项系数a的值，结合二次方程根与△的关系，得到答案；再考虑二次方程解的个数即可．

解答 解：若集合A={x|ax²+2x+1=0，a∈R}只有一个元素，
则方程ax²+2x+1=0有且只有一个解
当a=0时，方程可化为2x+1=0，满足条件；
当a≠0时，二次方程ax²+2x+1=0有且只有一个解
则△=4-4a=0，解得a=1
∴a的值为0或1，集合A={x|ax²+2x+1=0，a∈R}只有一个元素；
当a≠0，△=4-4a＜0，即a＞1时，集合A的元素个数是0；
当a≠0，△=4-4a＞0，即a＜1且a≠0时，集合A的元素个数是2；

点评 本题考查的知识点是集合元素的确定性及方程根的个数的判断及确定，其中根据元素的确定性，将问题转化为：关于x的方程ax²+2x+1=0的解的个数是解答本题的关键．