Question

（2013•丰台区二模）已知椭圆C：

x2

4

+y2=1的短轴的端点分别为A，B，直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其中点M （m，

1

2

） 满足m≠0，且m≠±

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；
（Ⅱ）用m表示点E，F的坐标；
（Ⅲ）若△BME面积是△AMF面积的5倍，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率计算公式e=

c

a

；
（Ⅱ）利用点斜式分别写出直线AM、BM的方程，与椭圆的方程联立即可得到点E、F的坐标；
（Ⅲ）利用三角形的面积公式及其关系得到

5|MA|

|ME|

=

|MB|

|MF|

，再利用坐标表示出即可得到m的值．

解答：解：（Ⅰ）依题意知a=2，c=

3

，∴e=

3

2

；              
（Ⅱ）∵A（0，1），B（0，-1），M （m，

1

2

），且m≠0，
∴直线AM的斜率为k₁=-

1

2m

，直线BM斜率为k₂=

3

2m

，
∴直线AM的方程为y=-

1

2m

x+1，直线BM的方程为y=

3

2m

x-1，
由

x2 4 +y2=1 y=- 1 2m x+1

得（m²+1）x²-4mx=0，
∴x=0，x=

4m

m2+1

，∴E(

4m

m2+1

，

m2-1

m2+1

)，
由

x2 4 +y2=1 y= 3 2m x-1

得（9+m²）x²-12mx=0，
∴x=0，x=

12m

m2+9

，∴F(

12m

m2+9

，

9-m2

m2+9

)；                
（Ⅲ）∵S△AMF=

1

2

|MA||MF|sin∠AMF，S△BME=

1

2

|MB||ME|sin∠BME，∠AMF=∠BME，5S_△AMF=S_△BME，
∴5|MA||MF|=|MB||ME|，∴

5|MA|

|ME|

=

|MB|

|MF|

，
∴

5m

4m m2+1 -m

=

m

12m 9+m2 -m

，
∵m≠0，∴整理方程得

1

m2+1

=

15

m2+9

-1，即（m²-3）（m²-1）=0，
又∵m≠±

3

，∴m²-3≠0，∴m²=1，∴m=±1为所求．

点评：熟练掌握椭圆的离心率、点斜式、直线与椭圆的相交问题的解题模式、三角形的面积计算公式、比例式如何用坐标表示是解题的关键．