Question

已知(

x

2

-

1

3 x

)n各项展开式的二项式系数之和为256．
（Ⅰ）求n；
（Ⅱ）求展开式的常数项．

Answer 1

分析：（1）根据题意，由二项式定理可得2ⁿ=256，解可得n的值；
（2）由二项式定理可得，(

x

2

-

1

3 x

)n展开式的通项为T_r+1=C₈^r（

x

2

）^8-r•（-

1

3 x

）^r=（-1）^r•C₈^r（

1

2

）^r•x8-

4r

3

；要求常数项，令8-

4r

3

=0，可得r=6，则常数项为T₇，将r=6代入可得答案．

解答：解：（1）根据题意，(

x

2

-

1

3 x

)n展开式的二项式系数为256，
由二项式定理可得2ⁿ=256，解可得n=8；
（2）由二项式定理可得，(

x

2

-

1

3 x

)n展开式的通项为T_r+1=C₈^r（

x

2

）^8-r•（-

1

3 x

）^r=（-1）^r•C₈^r（

1

2

）^r•x8-

4r

3

；
令8-

4r

3

=0，可得r=6，
则常数项为T₇=

C

6 8

(

1

2

)2(-1)6=7．

点评：本题考查二项式定理的应用，要牢记二项式（x+y）ⁿ中，其二项式系数之和为2ⁿ．