Question

已知：．
（I）若f′（1）=2，求a的值；
（Ⅱ）已知a＞e-1，若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x₀，使得f（x₀）＜ag（x₀）成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）的图象C₁与函数+bx的图象C₂交于点A、B，过线段A、B的中点M作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点P、Q，问是否存在点M使C₁在P处的切线与C₂在Q处的切线平行？若存在，求出M的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）求导函数，可得f′（x）=1-
∴f′（1）=1-（a+1）=2，
∴a=-2；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）-ag（x）=x+-alnx（x＞0），则若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x₀，使得f（x₀）＜ag（x₀）成立，等价于x∈[1，e]，F_min（x）＜0
求导函数可得F′（x）=
令F′（x）=0得x=a+1或x=-1（舍去）
∵a＞e-1，∴x=a+1＞e
∵x∈（0，a+1），F′（x）＜0，函数递减
∴F（x）在[1，e]上单调递减
∴F_min（x）=F（e）=e+
∴
∵a＞e-1，，∴
∴a的取值范围为；
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂，则P，Q的横坐标均为x=
C₁在P处的切线斜率为k₁==；C₂在Q处的切线斜率为k₂=x+b=+b
假设C₁在P处的切线与C₂在Q处的切线平行，则k₁=k₂，即=+b
∴=+b（x₂-x₁）=lnx₂-lnx₁，
∴ln==
设，在lnu=（u＞1）①
设h（u）=lnu-（u＞1），则h′（u）=
∵u＞1，∴h′（u）＞0
∴h（u）在[1，+∞）上单调递增，故h（u）＞h（1）=0
∴lnu＞
这与①矛盾，假设不成立
∴C₁在P处的切线与C₂在Q处的切线不平行．
分析：（I）求导函数，利用f′（1）=2，可求a的值；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）-ag（x）=x+-alnx（x＞0），则若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x₀，使得f（x₀）＜ag（x₀）成立，等价于x∈[1，e]，F_min（x）＜0，由此可求a的取值范围；
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂，则P，Q的横坐标均为x=，确定C₁在P处的切线斜率为k₁==；C₂在Q处的切线斜率为k₂=x+b=+b，假设C₁在P处的切线与C₂在Q处的切线平行，则k₁=k₂，由此可引出矛盾，故得解．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，难度大．