Question

已知向量=（cos，-1），=（sin，cos²），设函数f（x）=+．
（1）若x∈[0，]，f（x）=，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c-a，求f（B）的取值范围．

Answer 1

解：（1）依题意得f（x）=+=sin cos-cos²+=sinx-+=sin（x-），…（2分）
由 x∈[0，]，得：-≤x-≤，sin（x-）=＞0，
从而可得 cos（x-）=，…（4分）
则cosx=cos[（x-）+]=cos（x-） sin-sin（x-） cos=． …（6分）
（2）在△ABC中，由2bcosA≤2c-a 得 2sinBcosA≤2sin（A+B）- sinA，即 2sinAcosB≥sinA，
由于sinA＞0，故有cosB≥，从而 0＜B≤，…（10分）
故f（B）=sin（B-），由于 0＜B≤，∴-＜B-≤0，∴sin（B-）∈（-，0]，即f（B）∈（-，0]．　…（12分）
分析：（1）依题意得f（x）=+=sin（x-）=，由 x∈[0，]，sin（x-）=＞0，cos（x-）=，由cosx=cos[（x-）+]利用两角和的余弦公式求得结果．
（2）由2bcosA≤2c-a 得：cosB≥，从而 0＜B≤，由此求得f（B）=sin（B-）的取值范围．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两角和的余弦公式，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．