Question

7．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA₁=2，AD=CD=$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）若AC的中点为E，求A₁C与DE所成的角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角B₁-AC-D₁（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A₁C与DE所成的角的正弦值．
（Ⅱ）求出平面B₁AC的法向量和平面D₁AC的法向量，利用向量法能求出二面角B₁-AC-D₁（锐角）的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由AD=CD，AC的中点为E，所以 DE⊥AC．
如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得：
A（0，0，0 ），B（1，0，0），A₁（0，0，2）C（0，2，0），
D（-2，1，0），B₁（1，0，2），D₁（-2，1，2），E（0，1，0）．
$\overrightarrow{{A_1}C}=（0，2，-2）$，$\overrightarrow{DE}=（2，0，0）$，
∵$\overrightarrow{{A_1}C}•\overrightarrow{DE}=（0，2，-2）•（2，0，0）=0+0+0=0$，
∴A₁C⊥DE，∴A₁C与DE所成的角为$\frac{π}{2}$．
即A₁C与DE所成的角的正弦值为 sin$\frac{π}{2}$=1．（6分）
（Ⅱ）设平面B₁AC的法向量为$\overrightarrow m=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
平面D₁AC的法向量为$\overrightarrow n=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$．
$\overrightarrow{A{B_1}}$=（1，0，2），$\overrightarrow{A{D_1}}$=（-2，1，2），$\overrightarrow{AC}=（0，2，0）$．
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{A{B_1}}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{AC}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+2{z_1}=0\\ 2{y_1}=0\end{array}\right.$，令z₁=1，则$\overrightarrow m=（-2，0，1）$，
同理可得$\overrightarrow n=（1，0，1）$，
$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞$=$\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}$=$\frac{-2+1}{{\sqrt{5}\sqrt{2}}}=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴二面角B₁-AC-D₁（锐角）的余弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．      （12分）

点评 本题考查异面直线所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．