Question

在△ABC中，已知角A，B，C满足2B=A+C，且tanA和tanB是方程x²-λx+λ+1=0的两根，若△ABC的面积为3+

3

，试求△ABC的三边的长．

Answer 1

分析：在△ABC中，由角A，B，C满足2B=A+C，知B=60°，tanB=

3

．由tanA和tanB是方程x²-λx+λ+1=0的两根，把tanB=

3

代入方程x²-λx+λ+1=0，解得λ=2

3

+2．由韦达定理有tanA•tanB=2

3

+3，知tanA=2+

3

，tanC=-tan（A+B）=1．故C=45°，A=75°．由此利用若△ABC的面积为3+

3

，能求出△ABC的三边的长．

解答：解：在△ABC中，
∵角A，B，C满足2B=A+C，∴B=60°，tanB=

3

．
∵tanA和tanB是方程x²-λx+λ+1=0的两根，
∴把tanB=

3

代入方程x²-λx+λ+1=0，
解得λ=2

3

+2．由韦达定理有tanA•tanB=λ+1=2

3

+3，
∴tanA=

2 3 +3

3

=2+

3

，
∴tanC=-tan（A+B）
=-

tanA+tanB

1-tanA•tanB

=-

2+ 3 + 3

1-(2+ 3 )• 3

=1．
∴C=45°，A=75°．∴a：b：c=sin75°：sin60°：sin45°=（

6

+

2

）：2

3

：2

2

．
设a=(

6

+

2

)k，b=2

3

k，c=2

2

k，
∵△ABC的面积为3+

3

，
∴

1

2

acsinB=3+

3

，
即

3

2

×

1

2

×(

6

+

2

)k×2

2

k=3+

3

，
解得k=1，
∴a=

6

+

2

，b=2

3

，c=2

2

．

点评：本题考查解三角形在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要注意三角形加法定理和正弦定理的灵活运用．