Question

在△ABC中，已知角A为锐角，角A、B、C的对边分别为a、b、c，sinA=

2 2

3

．
（1）求tan2

B+C

2

+sin2

A

2

的值；
（2）若a=2

2

，S△ABC=

2

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）由A为锐角，根据sinA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，原式利用同角三角函数间的基本关系变形，再利用诱导公式化简，整理后将cosA的值代入计算即可求出值；
（2）利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积与sinA的值代入求出bc的值，利用余弦定理列出关系式，将a，cosA的值代入并利用完全平方公式化简，把bc的值代入求出b²+c²的值，两式联立即可求出b的长．

解答：解：（1）∵在△ABC中，角A为锐角且sinA=

2 2

3

，
∴cosA=

1-sin2A

=

1

3

，
则原式=tan²

π-A

2

+sin²

A

2

=

sin2( π 2 - A 2 )

cos2( π 2 - A 2 )

+sin²

A

2

=

cos2 A 2

sin2 A 2

+sin²

A

2

=

1+cosA

1-cosA

+

1-cosA

2

=

1+ 1 3

1- 1 3

+

1- 1 3

2

=

7

3

；
（2）由S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc×

2 2

3

=

2

，得bc=3①，
由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，
即8=b²+c²-

2

3

bc=b²+c²-2，
整理得：b²+c²=10②，
由①②，
解得：b=1或b=3．

点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．