Question

某校从高二年级第一学期期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数，满分为100分），将数学成绩进行分组并根据各组人数制成如下频率分布表：

分 组	频 数	频 率
[40，50 ）	2	0.04
[50，60 ）	3	0.06
[60，70 ）	14	0.28
[70，80 ）	15	0.30
[80，90 ）	a	b
[90，100]	5	0.1
合 计	c	d

（Ⅰ）求a，b，c，d的值，并估计本次考试全校80分以上学生的百分比；
（Ⅱ）为了帮助成绩差的同学提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩为[90，100]中任选出两位同学，共同帮助成绩在[40，50）中的某一个同学，试列出所有基本事件；若A₁同学成绩为43分，B₁同学成绩为95分，求A₁、B₁两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，c为抽取人数之和，易得c=50，而d为各组频率之和，则d=1，进而可得a、b的值，要估计本次全校80分以上学生比例，只需将计算[80，90）与[90，100）两组频率之和即可；
（Ⅱ）设成绩为[90，100]中的同学分别为B₁、B₂、B₃、B₄、B₅，成绩在[40，50）中的同学A₁、A₂，列举所有基本事件，进而可得A₁、B₁两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的事件；由等可能事件的概率公式，计算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）根据题意，共抽取了50人，则c=50，则d为各组频率之和，d=1；
则a=50-2-3-14-15-5=11，b=1-0.04-0.06-0.28-0.30-0.1=0.22；
故a=11，b=0.22，c=50，d=1；
估计本次全校80分以上学生比例为0.22+0.1=0.32=32%；
（Ⅱ）依题意，成绩为[90，100）中有5位同学，成绩为[40，50）中有2位同学，
设成绩为[90，100]中的同学分别为B₁、B₂、B₃、B₄、B₅，成绩在[40，50）中的同学A₁、A₂，
试列出所有基本事件B₁B₂A₁，B₁B₂A₂，B₁B₃A₁，B₁B₃A₂，B₁B₄A₁，B₁B₄A₂，B₁B₅A₁，B₁B₅A₂，B₂B₃A₁，B₂B₃A₂，B₂B₄A₁，B₂B₄A₂，B₂B₅A₁，B₂B₅A₂，B₃B₄A₁，B₃B₄A₂，B₃B₅A₁，B₃B₅A₂，B₄B₅A₁，B₄B₅A₂；共计20种，
其中A₁、B₁两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的事件B₁B₂A₁，B₁B₃A₁，B₁B₄A₁，B₁B₅A₁，共4种
则其概率为P=

4

20

=

1

5

．

点评：本题考查等可能事件的概率计算、频率分布表的运用以及列举法的应用；注意列举要做到不重不漏．