Question

已知A、B分别是直线和上的两个动点，线段AB的长为，P是AB的中点．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点R．若，，证明：λ+μ为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．P是线段AB的中点，A、B分别是直线和上的点，和．再由知动点P的轨迹C的方程为．
（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1）．设M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）、R（0，y₅），则M、N两点坐标满足方程组消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，然后利用根与系数的关系进行求解．
解答：解：（1）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵P是线段AB的中点，∴（2分）
∵A、B分别是直线和上的点，
∴和．
∴（4分）
又，∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=12．（5分）
∴，
∴动点P的轨迹C的方程为．（6分）
（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1）．（7分）
设M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）、R（0，y₅），
则M、N两点坐标满足方程组
消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，（9分）
∴，①．②（10分）
∵，∴（x₃，y₃）-（0，y₅）=λ[（1，0）-（x₃，y₃）]．
即
∴x₃=λ（1-x₃）．∵l与x轴不垂直，∴x₃≠1，
∴，
同理．（12分）
∴=．
将①②代入上式可得．（14分）
点评：本题主要考查直线与椭圆的有关知识、求轨迹方程的方法，以及运算求解和推理论证能力．