Question

已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=ax-lnx．若对任意的x₁∈[，2]，总存在唯一的x₂∈[，e]（e为自然对数的底），使得g（x₂）=f（x₁），求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）求导函数，利用f（x）在x=1处取到极值2，可得f′（1）=0，f（1）=2，由此可求f（x）的解析式；
（2）确定f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，从而可得f（x）的值域；依题意，记，从而可得，再分类讨论，确定g（x）在M上单调性，即可求a取值范围．
解答：解：（1）…（2分）
∵f（x）在x=1处取到极值2，∴f′（1）=0，f（1）=2
∴，解得m=4，n=1，
故…（5分）
（2）由（1）知，故f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，
由，故f（x）的值域为…（7分）
依题意，记，
∵x∈M
∴
（ⅰ）当时，g'（x）≤0，g（x）在M上单调递减，
依题意由，得，…（8分）
（ⅱ）当时，e＞当时，g′（x）＜0，当时，g′（x）＞0
依题意得：或，解得，…（10分）
（ⅲ）当a＞e²时，，此时g′（x）＞0，g（x）在M上单调递增，依题意得，即，此不等式组无解 …（11分）．
综上，所求a取值范围为…（14分）
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．