Question

已知函数f（x）=-x³+x²+（m²-1）x，其中m＞0．
（1）若m=2，求函数f（x）的单调区间；
（2）方程f（x）=0有三个不同的根0，x₁，x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，有f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=-x²+2x+3=-（x-3）（x+1），…2
令f′（x）=0，解得x=3或x=-1．
f（x）在（-∞，-1）和（3，+∞）内为减函数，在（-1，3）内为增函数…5
（2）∵方程f（x）=x（-x²+x+m²-1）=-x（x-x₁）（x-x₂），
∴方程-x²+x+m²-1=0有两个不同的根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=3，且△=1+（m²-1）＞0，解得m＜-（舍去），m＞…7
∵x₁＜x₂，
∴x₁+x₂＜2x₂，
∴x₂＞＞1．
若x₁≤1＜x₂，即f（1）=-（1-x₁）（1-x₂）≥0，而f（1）=0，不合题意…8
若1＜x₁＜x₂，则对任意的x∈[x₁，x₂]有x-x₁≥0，x-x₂≤0，
则f（x）=-x（x-x₁）（x-x₂）≥0，又f（x₁）=0，
∴函数f（x）在x∈[x₁，x₂]的最小值为0，
于是对任意的x∈[x₁，x₂]，有f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）=m²-＜0，解得-＜m＜，
综上，m的取值范围是（，）…12
分析：（1）求得f′（x），令f′（x）=0，进一步可求得函数f（x）的单调区间；
（2）依题意可得f（x）=-x（x-x₁）（x-x₂），从而方程-x²+x+m²-1=0有两个不同的根x₁，x₂，利用韦达定理可得x₂＞＞1，m＞；当1＜x₁＜x₂，可求得函数f（x）在x∈[x₁，x₂]的最小值为0，从而可得f（1）=m²-＜0，于是可求得m的取值范围．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化与分类讨论思想，考查综合分析与解决问题的能力，属于难题．