Question

（05年福建卷理）（14分）

已知数列{a_n}满足a₁=a, a_n+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：

（Ⅰ）求当a为何值时a₄=0；

（Ⅱ）设数列{b_n­}满足b₁=－1, b_n+1=，求证a取数列{b_n}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{a_n}；

（Ⅲ）若，求a的取值范围.

Answer 1

解析：(Ⅰ)∵a₁=a,∴1+=a₂,∴a₂=,,,

故当时,

(Ⅱ)∵b₁=-1,

当a=b₁时,a₁=1+=0

当a=b₂时,a₂==b₁,∴a₂=0,

当a=b₃时,a₃=1+=b₂,∴a₃=1+,∴a₄=0,

……

一般地,当a=b_n时,a_n+1=0,可得一个含育n+1项的有穷数列a₁,a₂,a₃,…,a_n+1.

可用数学归纳法加以证明：

①     当n=1时,a=b₁,显然a₂=0,得到一个含2项的有穷数列a₁,a₂.

②     假设当n=k时,a=b_k,得到一个含有k+1项的有穷数列a₁,a₂,a₃,…,a_k+1,其中a_k+1=0,则n=k+1时.a=b_k+1,∴a₂=1+.

由假设可知,可得到一个含有k+1项的有穷数列a₂,a₃,…,a_k+2,其中a_k+2=0.

由①②知,对一切n∈N⁺,命题都成立.

(Ⅲ)要使即,∴1<a_n-1<2.

∴要使,当且仅当它的前一项a_n-1,满足1<a_n-1<2,∵(,2)(1,2),

∴只须当a₄,都有

由得,

解不等式组得,故a>0.