Question

已知向量=（sin2x，-f（x）），=（-m，cos²x+m-）（m∈R） 且与互为相反向量．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若x∈[0，），f²（x）-λf（x）+1的最小值为-2，求实数λ的值．

Answer 1

解：（1）由与互为相反向量可得 m=sin2x，f（x）=cos²x+m-，
∴f（x）=+sin2x-=sin（2x+）．
（2）∵x∈[0，），∴2x+∈[，），∴≤sin（2x+）≤1，即f（x）∈[，1]．
令 h=f²（x）-λf（x）+1，当＜时，则h在[，1]上是增函数，则f（x）=时，h取得最小值为-2，
故 -λ+1=-2，解得 λ= （舍去）．
当 ≤≤1时，f（x）=时，h取得最小值为-2，即 =-2，解得λ=±2（舍去）．
当 ＞1时，h在[，1]上是减函数，f（x）=1 时，h取得最小值为 1-λ+1=-2，解得 λ=4．
综上可得，λ=4．
分析：（1）由与互为相反向量可得 m=sin2x，f（x）=cos²x+m-，化简可得f（x）的解析式．
（2）根据x∈[0，），可得f（x）∈[，1]，令 h=f²（x）-λf（x）+1，利用二次函数的性质求得h的最小值，再由最小值为-2求得实数λ的值．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，二倍角的余弦公式，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．