Question

（理科）已知向量

a

=（sin²

π

6

x，cos²

π

6

x），

b

=（sin²

π

6

x，-cos²

π

6

x），g（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式，并求其单调增区间；
（Ⅱ）若集合M={f（x）丨f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}，试判断g（x）与集合M的关系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式、二倍角公式求得g（x）=

a

•

b

=-cos

πx

3

，令 2kπ≤

πx

3

≤2kπ+π，k∈z，求得x的范围，可得g（x）的单调增区间．
（Ⅱ）利用两角和差的三角公式化简g（x）+g（x+2）=-cos

π

3

（x+1）=g（x+1），可得g（x）∈M．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得g（x）=

a

•

b

=sin4

πx

6

-cos4

πx

6

=sin2

πx

6

-cos2

πx

6

=-cos

πx

3

，
故本题即求cos

πx

3

得减区间．
令 2kπ≤

πx

3

≤2kπ+π，k∈z，求得 6k≤x≤6k+3，k∈z．
故g（x）的单调增区间为[6k，6k+3]，k∈z．
（Ⅱ）由于g（x）+g（x+2）=-cos

πx

3

-cos

π

3

(x+2) 
=-cos

πx

3

-cos

πx

3

cos

2π

3

+sin

πx

3

sin

2π

3

=-

1

2

cos

πx

3

+

3

2

sin

πx

3

，
=-cos

π

3

（x+1）=g（x+1），
∴g（x）∈M．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、余弦函数的单调区间，两角和差的三角公式省委应用，属于中档题