Question

3．若变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤0}\\{x-2y-1≥0}\\{x-4y-3≤0}\end{array}\right.$，则z=3x+5y的取值范围是[-8，9]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值和最大值．

解答 解：不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+5y得y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$，平移直线y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$，
则由图象可知当直线y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$经过点A时直线y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$的截距最小，
此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=1}\\{x-4y=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即A（-1，-1），
此时z=3×（-1）+5×（-1）=-8，
当直线y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$经过点C（3，0）时直线y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$的截距最大，
此时z最大，此时z=3×3+5×0=9，
即-8≤z≤9，
故答案为：[-8，9]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．