Question

（本小题满分14分）已知椭圆，它的离心率为，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.⑴求椭圆的方程；⑵设椭圆的左焦点为，左准线为，动直线垂直于直线，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，求动点的轨迹的方程；⑶将曲线向右平移2个单位得到曲线,设曲线的准线为，焦点为，过作直线交曲线于两点，过点作平行于曲线的对称轴的直线，若，试证明三点（为坐标原点）在同一条直线上．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）三点共线

解析:

（Ⅰ）由题意可得 ，   （2分）

由，得，∴,  （4分）

∴椭圆的方程为. （4分）

   （Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆的左焦点为，左准线为,      

连结，则，设，则,

∴，（6分）化简得的方程为.（8分）

   （Ⅲ）将曲线向右平移2个单位,得曲线的方程为: ,其焦点为，

准线为，对称轴为轴． （10分）

设直线的方程为，代入y²=4x，得y²－4ty－4=0．

由题意，可设()，()，则y₁y₂=－4，

且有  （12分）∴，，

得．∴三点共线．　（14分）

评析：证明三点共线的方法很多,这里运用向量共线定理来证，体现了平面向量与解析几何知识的交汇和平面向量知识在解析几何中的应用．近几年的高考突出了在知识网络的交汇点处设计命题的要求，平面向量与解析几何知识的综合考查成为一个不衰的热点，复习中要引起重视．