Question

如图椭圆C的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为-1的直线交椭圆于B点，点P（1，0），且BP∥y轴，△APB的面积为

9

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．

Answer 1

分析：（1）先根据△APB的面积为

9

2

，以及AB斜率为-1，求出A，B，P的坐标，再把A，B坐标代入椭圆C的方程

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，求出a，b的值即可．
（2）由（1）知椭圆C的焦点坐标，以及在直线AB的方程，因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大，只须||MF₁|-|MF₂||最大，找到||MF₁|-|MF₂|的范围，求最值即可．

解答：解：（1）S△APB=

1

2

AP•PB=

9

2

，又∠PAB=45°，AP=PB，故AP=BP=3．
∵P（1，0），A（-2，0），B（1，-3）
∴b=2，将B（1，-3）代入椭圆得：

b=2 1 b2 + 9 a2 =1

得a²=12，
所求椭圆方程为

y2

12

+

x2

4

=1．
（2）设椭圆C的焦点为F₁，F₂，
则易知F₁（0，-2

2

）F₂（0，2

2

），
直线AB的方程为：x+y+2=0，因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大，只须||MF₁|-|MF₂||最大，设F₁（0，-2

2

）关于直线AB的对称点为F₁'（2

2

-2，-2），则直线F₂F₁′与直线的交点为所求M，
因为F₂F₁′的方程为：y+(3+2

2

)x-2

2

=0，联立

y+(3+2 2 )x-2 2 =0 x+y+2=0

得M（1，-3）
又2a′=||MF₁|-|MF₂||=||MF₁'|-|MF₂||≤|F₂F₁'|
=

(2 2 -2-0)2+(-2-2 2 )2

=2

6

，故

a

′ max

=

6

，b′=

2

，
故所求双曲线方程为：

y2

6

-

x2

2

=1

点评：本题考查了直线与椭圆，双曲线的位置关系，做题时要细心．