Question

如图椭圆C的方程为，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为﹣1的直线交椭圆于B点，点P（1，0），且BP∥y轴，△APB的面积为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程．

Answer 1

解答： 解：（1），又∠PAB=45°，AP=PB，故AP=BP=3．

∵P（1，0），A（﹣2，0），B（1，﹣3）

∴b=2，将B（1，﹣3）代入椭圆得：得a²=12，

所求椭圆方程为．

（2）设椭圆C的焦点为F₁，F₂，

则易知F₁（0，﹣）F₂（0，），

直线AB的方程为：x+y+2=0，因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大，只须||MF₁|﹣|MF₂||最大，设F₁（0，﹣）关于直线AB的对称点为F₁'（﹣2，﹣2），则直线F₂F₁′与直线的交点为所求M，

因为F₂F₁′的方程为：，联立得M（1，﹣3）

又2a′=||MF₁|﹣|MF₂||=||MF₁'|﹣|MF₂||≤|F₂F₁'|

==2，故，

故所求双曲线方程为：