(Ⅰ)易知f(x)的定义域为x∈(-
,+∞).
f′(x)=x-
+m=
=
.
由f′(x)=0得:x=0或x=-m-
.
∵m<0,∴-m-
∈(-
,+∞).
∴(1)当-
≤m<0时,则x∈(-
,-m-
)时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
x∈(-m-
,0)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;
x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
(2)当m<-
时,则x∈(-
,0)时,f′(x)>0,f(x)为增函数;
x∈(0,-m-
)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;
x∈(-m-
,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
(Ⅱ)在x∈(-
,
]上至少存在一点x
0,使f(x
0)>g+1成立,
等价于当x∈(-
,
]时,f(x)
max>g+1.
∵m≤-
,∴
≤-m-
.
由(Ⅰ)知,x∈(-
,0]时,f(x)为增函数,x∈[0,
)时,f(x)为减函数.
∴在x∈(-
,
]时,f(x)
max=f(0)=-2m.∴-2m>g+1,即m<
.
检验,上式满足m≤-
,所以m<
是所求范围.
(Ⅲ)当m=-1时,函数f(x)=
x
2+ln
-x+2.
构造辅助函数g(x)=f(x)-
x,并求导得g′(x)=x+
-
=
=
显然当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)为减函数.
∴对任意0<x
1<x
2<1,都有g(x
1)>g(x
2)成立,即f(x
1)-
x
1>f(x
2)-
x
2.
即f(x
2)-f(x
1)<
(x
2-x
1)
即.又∵x
2-x
1>0,∴
<.