Question

已知定义域为R的偶函数f（x）满足：对于任意实数x，都有f（1+x）=f（1-x），且当0≤x≤1时，f（x）=3^x+1+2x．
（1）求证：对于任意实数x，都有f（x+2）=f（x）；
（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由于偶函数f（x）满足 f（1+x）=f（1-x），故有f（x+2）=f[1-（x+1）]=f（-x）=f（x），命题得证．
（2）当x∈[1，2）时，2-x∈[0，1]，再根据条件求得f（x）=f（2-x） 的解析式．同理求得当x∈[2，3）时，f（x）的解析式，综上可得结论．

解答：解：（1）由于偶函数f（x）满足 f（1+x）=f（1-x），
故有f（x+2）=f[1+（x+1）]=f[1-（x+1）]=f（-x）=f（x），
∴f（x+2）=f（x）成立．
（2）当x∈[1，2）时，2-x∈[0，1]，再根据当0≤x≤1时，f（x）=3^x+1+2x，
偶函数函数f（x）的周期为2，
可得 f（x）=f（-x）=f（2-x）=3^2-x+1+2（2-x）=3^3-x+4-2x，即 f（x）=3^3-x+4-2x．
当x∈[2，3）时，x-2∈[0，1]，再根据当0≤x≤1时，f（x）=3^x+1+2x，
可得f（x）=f（x-2）=3^x-2+1+2（x-2）=3^x-1+2x-4．
综上可得，f（x）=

33-x+4-2x ，x∈[1 2) 3x-1+2x-4 ， x∈[2 ，3)

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点评：本题主要考查函数的周期性、奇偶性，求函数的解析式，体现了分类讨论和转化的数学而思想，属于中档题．