Question

1．在极坐标系中，极点为O，已知P₁（1+$\sqrt{2}$，0），P₂（1+$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$），曲线C：p=2$\sqrt{2}$sinθ．
（1）求直线P₁P₂的极坐标方程；
（2）记直线P₁P₂与曲线C交与A，B两点，求∠AOB的大小．

Answer 1

分析 （1）由P₁（1+$\sqrt{2}$，0），P₂（1+$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，可得直角坐标P₁，P₂．可得直角坐标方程，再化为极坐标方程即可．
（2）曲线C：ρ=2$\sqrt{2}$sinθ，化为${ρ}^{2}=2\sqrt{2}ρsinθ$，可得直角坐标方程为：${x}^{2}+（y-\sqrt{2}）^{2}$=2．曲线C是以M$（0，\sqrt{2}）$为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆．过点M作MQ⊥AB与点Q，连接MA，MB，MP₂，MO．利用斜率与直角三角形的边角关系可得：∠AMQ，利用∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AMB=∠AMQ即可得出．

解答 解：（1）由P₁（1+$\sqrt{2}$，0），P₂（1+$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，可得：P₁（1+$\sqrt{2}$，0），P₂（0，1+$\sqrt{2}$）．
∴直线P₁P₂的直角坐标方程为：$\frac{x}{1+\sqrt{2}}+\frac{y}{1+\sqrt{2}}$=1，化为x+y=1+$\sqrt{2}$．
∴极坐标方程为：ρcosθ+ρsinθ=1+$\sqrt{2}$．
（2）曲线C：ρ=2$\sqrt{2}$sinθ，化为${ρ}^{2}=2\sqrt{2}ρsinθ$，
可得直角坐标方程为：x²+y²=2$\sqrt{2}$y，
配方为${x}^{2}+（y-\sqrt{2}）^{2}$=2．
∴曲线C是以M$（0，\sqrt{2}）$为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆．
过点M作MQ⊥AB与点Q，连接MA，MB，MP₂，MO．
在Rt△MQP₂中，∠MP₂Q=∠OP₂P₁=45°，
∴|MP₂|=|OP₂|-|OM|=1．
故|MQ|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|MP₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△MQA中，|MQ|=$\frac{1}{2}$|AM|，
故∠AMQ=60°，
因此∠AOB=$\frac{1}{2}$∠AMB=∠AMQ=60°．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程互化的方法、直线与圆相交问题、垂经定理、圆心角与圆周角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．