Question

已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为

3

的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为（　　）

• A．

  3

  3

• B．

  2

  3

• C．

  3

  4

• D．

  2

  4

Answer 1

分析：先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算

解答：解：∵正三棱锥P-ABC，PA，PB，PC两两垂直，
∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接圆O，
∵圆O的半径为

3

，
∴正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2
球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离
设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

S_△ABC×h=

1

3

S_△PAB×PC=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

△ABC为边长为2

2

的正三角形，S_△ABC=

1

3

×

3

4

×（2

2

）²=

2 3

3

∴h=

V

S△ABC

=

4 3

2 3 3

=

2 3

3

∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为

3

-

2 3

3

=

3

3

故选A

点评：本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题