Question

已知向量

a

=（cos75°，sin75°），

b

=（cos15°，sin15°），则

a

-

b

与

b

的夹角为（　　）

Answer 1

分析：由诱导公式先化简向量的坐标，进而可得（

a

-

b

）•

b

和|

a

-

b

|，|

b

|的值，而cos＜

a

-

b

，

b

＞=

( a - b )• b

| a - b || b |

，代入化简可得．

解答：解：∵cos75°=cos（90°-15°）=sin15°，
sin75°=sin（90°-15°）=cos15°
∴

a

=（cos75°，sin75°）=（sin15°，cos15°）
∴

a

-

b

=（sin15°-cos15°，cos15°-sin15°），
∴（

a

-

b

）•

b

=（sin15°-cos15°）cos15°+（cos15°-sin15°）sin15°
=2sin15°cos15°-（cos²15°+sin²15°）=sin30°-1=-

1

2

，
又可得|

a

-

b

|=

(sin15°-cos15°)2+(cos15°-sin15°)2

=

2(sin215°+cos215°-2sin15°cos15°)

=

2(1-sin30°)

=1，
|

b

|=

cos215°+sin215°

=1
∴cos＜

a

-

b

，

b

＞=

( a - b )• b

| a - b || b |

=

- 1 2

1×1

=-

1

2

，
又∵0°≤＜

a

-

b

，

b

＞≤180°，
∴

a

-

b

与

b

的夹角＜

a

-

b

，

b

＞为120°
故选C

点评：本题考查向量夹角的求解，涉及向量的模长公式和数量积的运算，属中档题．