Question

（本题14分）已知动圆过点，且与圆相内切.

（1）求动圆的圆心的轨迹方程；

（2）设直线（其中与（1）中所求轨迹交于不同两点，，与双曲线 交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.

Answer 1

（14分）解：（1）圆， 圆心的坐标为，半径.

∵，

∴点在圆内.                                                   

设动圆的半径为，圆心为，依题意得，且，

即.                                              

∴圆心的轨迹是中心在原点，以两点为焦点，长轴长为的椭圆,设其方程为

,  则.

∴.

∴所求动圆的圆心的轨迹方程为.                           

 (2)  由 消去化简整理得：.

设，，则.

△.  ①                             

由 消去化简整理得：.

设，则,

△.  ②                         

∵，

∴，即，

∴.

∴或.

解得或.                                                                    

当时,由①、②得  ，

∵Z,

∴的值为 ，，;

当，由①、②得  ，

∵Z,

∴.

∴满足条件的直线共有9条．