Question

已知点P（3，4）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一点，F₁、F₂是椭圆的两焦点，若PF₁⊥PF₂，试求：
（1）椭圆方程；
（2）△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析：（1）设出焦点的坐标，利用垂直关系求出 c 值，椭圆的方程化为

x2

a2

+

y2

a2-25

=1，把点P的坐标代入，
可解得a²的值，从而得到所求椭圆方程．
（2） P点纵坐标的值即为F₁F₂边上的高，由 S_△PF1F2 =

1

2

|F₁F₂|×4 求得）△PF₁F₂的面积．

解答：解：（1）  令F₁（-c，0），F₂（c，0），∵PF₁⊥PF₂，∴k_PF1•k_PF2=-1，
即

4

3+c

•

4

3-c

=-1，解得 c=5，∴椭圆方程为 

x2

a2

+

y2

a2-25

=1．
∵点P（3，4）在椭圆上，∴

9

a2

+

16

a2-25

=1，解得 a²=45，或a²=5，
又a＞c，∴a²=5舍去，故所求椭圆方程为 

x2

45

+

y2

20

=1．
（2） P点纵坐标的值即为F₁F₂边上的高，
∴S_△PF1F2 =

1

2

|F₁F₂|×4=

1

2

×10×4=20．

点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法．