Question

已知复数z满足|z-2|=1，复数z所对应的点的轨迹是C，若虚数满足u+

1

u

∈R，求|u|的值，并判断虚数u所对应的点与C的位置关系．

Answer 1

分析：据得数的几何意义可直接得出|z-2|=1中复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．设出复数u，写出u+

1

u

的表示式，进行复数的运算，把它整理成最简形式，根据它是实数得到其的虚部为0，得到其是表示圆心为（0，0），半径为1的圆，最后结合圆与圆的位置关系进行判断即可．

解答：解：满足条件|z-2|=1的复数z在复平面上对应点的轨迹是
圆心为（2，0），半径为1的圆．
再设虚数u所对应的点U（a，b），
由u是虚数，设u=a+bi（a，b∈R，b≠0）则
 z+

1

z

=a+bi+

1

a+bi

=a+bi+

a-bi

a2+b2

=a+

a

a2+b2

+(b-

b

a2+b2

)i
∵u∈R∴b-

b

a2+b2

=0且b≠0得a²+b²=1即|u|=1，
它表示圆心为（0，0），半径为1的圆，与圆心为（2，0），半径为1的圆相外切，
即虚数u所对应的点与C的位置关系是外切．

点评：考查圆锥曲线的轨迹问题、复数的几何意义及复数求模的公式． 题型很基本．较全面考查了复数的运算与几何意义，本题是一个运算量比较大的问题，题目的运算比较麻烦，解题时注意数字不要出错．