Question

设等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d₁，d₂，d₃，则有d₁+d₂+d₃为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内的任意一点，且P到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为d₁，d₂，d₃，d₄，则有d₁+d₂+d₃+d₄为定值    ．

Answer 1

【答案】分析：这是一个升维类比，线类比为面，点到直线的距离类比为点到平面的距离，面积类比为体积即可．
解答：解：由于等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d₁，d₂，d₃，则有d₁+d₂+d₃为定值；
证明如下：如图，△ABC是等边三角形，点P是等边三角形内部任一点．
S_△APB=a•PE，S_△CPB=a•PE，S_△APC=a•PG，
于是S_△APB+S_△CPB+S_△APC=a•PE+a•PF+a•PG，
即 a•PE+a•PF+a•PG=S，
PE+PF+PG=，为定值．
即d₁+d₂+d₃=，为定值．
由线类比为面，点到直线的距离类比为点到平面的距离，面积类比为体积得到：
有d₁+d₂+d₃+d₄为定值a．
故答案为：a．
点评：升维类比是一种比较重要的类比方式，要掌握好其类比规则，对于类比还有一点要注意，那就是类比的结论不一定是正确的