Question

已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0).

(1)〔理(1)文(2)〕若c=5,求sin∠A的值;

(文)若=0,求c的值;

(2)(理)若∠A是钝角,求c的取值范围.

Answer 1

答案：分析:本小题主要考查向量、平面坐标、两点间距离、正(余)弦定理等基础知识,以及运算求解能力.

解：(1)〔理(1)文(2)〕解法一:∵A(3,4)、B(0,0),∴|AB|=5,sin∠B=.

当c=5时,|BC|=5,|AC|==.

根据正弦定理,得sin∠A=sin∠B=.

解法二:∵A(3,4)、B(0,0),∴|AB|=5.当c=5时,|BC|=5,|AC|==.

根据余弦定理,得cos∠A==,sin∠A==.

(文)解法一:∵A(3,4)、B(0,0)、C(c,0),∴=(-3,-4),=(c-3,-4).

由=0(-3)(c-3)+(-4)(-4)=0,解得c=.

解法二:∵A(3,4)、B(0,0)、C(c,0),∴|AB|²=3²+4²=25,|AC|²=(c-3)²+4²,|BC|²=c².

∵=0,∴AB⊥AC,△ABC是直角三角形.根据勾股定理,得|AB|²+|AC|²=|BC|²,即c²=25+[(c-3)²+4²].解得c=.

(2)(理)已知△ABC顶点坐标为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0),

∴|AC|²=(c-3)²+4²,|BC|²=c².根据余弦定理,得cos∠A=,

若∠A是钝角,则cos∠A＜0|AB|²+|AC|²-|BC|²＜0,

即5²+[(c-3)²+4²]-c²=50-6c＜0.解得c＞.