Question

3．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面四边形ABCD是直角梯形，其中AB⊥AD，AB=BC=1且AD=$\sqrt{2}$AA₁=2．
（1）求证：直线C₁D⊥平面ACD₁；
（2）试求三棱锥A₁-ACD₁的体积．
（3）求A₁C与平面ADD₁A₁所成角．

Answer 1

分析 （1）在梯形ABCD内过C点作CE⊥AD交AD于点E，推导出AC⊥CD，AC⊥CC₁，从而AC⊥C₁D，又C₁D⊥CD₁，由此能证明C₁D⊥面ACD₁．
（2）三棱锥A₁-ACD₁与三棱锥C-AA₁D₁是相同的，由此利用等体积法能求出三棱锥A₁-ACD₁的体积．
（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A₁C与平面ADD₁A₁所成角的大小．

解答 证明：（1）在梯形ABCD内过C点作CE⊥AD交AD于点E，
则由底面四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB=BC=1，
以及AD=$\sqrt{2}$AA₁=2．
∴CE=1，且AC=CD=$\sqrt{2}$=AA₁=CC₁，
∴AC⊥CD．
又由题意知CC₁⊥面ABCD，从而AC⊥CC₁，而CC₁∩CD=C，
∴AC⊥C₁D．
∵CD=CC₁，∴四边形CDD₁C₁是正方形，∴C₁D⊥CD₁．
∵C₁D⊥CD₁，C₁D⊥AC，且AC∩CD₁=C，
∴C₁D⊥面ACD₁．
解：（2）∵三棱锥A₁-ACD₁与三棱锥C-AA₁D₁是相同的，故只需求三棱锥C-AA₁D₁的体积即可，
∵CE⊥AD，且AA₁⊥面ABCD，
∴CE⊥AA₁，又∵AD∩AA₁=A，
∴CE⊥平面ADD₁A₁，即CE为三棱锥C-AA₁D₁的高．
故三棱锥A₁-ACD₁的体积V=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×$AA₁×A₁D₁×CE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×1$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A₁（0，0，$\sqrt{2}$），C（1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（1，1，-$\sqrt{2}$），
设A₁C与平面ADD₁A₁所成角为θ，
∵平面ADD₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∴sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|1|}{\sqrt{4}•1}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=30°，
∴A₁C与平面ADD₁A₁所成角为30°．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．