Question

（2013•南通一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC=

sinA+sinB

cosA+cosB

．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a²+b²的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系以及两角和差的正弦公式化简可得sin（C-A）=sin（B-C）．
故有 C-A=B-C，或者C-A=π-（B-C） （不成立，舍去），即 2C=A+B，由此求得C的值．
（2）由于C=

π

3

，设A=

π

3

+α，B=

π

3

-α，-

π

3

＜α＜

π

3

，由正弦定理可得 a²+b²=sin²A+sin²B=
1+

1

2

cos2α．由-

2π

3

＜2α＜

2π

3

，根据余弦函数的定义域和值域求得 a²+b²的取值范围．

解答：解：（1）在△ABC中，∵tanC=

sinA+sinB

cosA+cosB

，∴

sinC

cosC

=

sinA+sinB

cosA+cosB

，
化简可得 sinCcosA-cosCsinA=sinBcosC-cosBsinC，即 sin（C-A）=sin（B-C）．
∴C-A=B-C，或者C-A=π-（B-C） （不成立，舍去），即 2C=A+B，∴C=

π

3

．
（2）由于C=

π

3

，设A=

π

3

+α，B=

π

3

-α，-

π

3

＜α＜

π

3

，
由正弦定理可得 a=2rsinA=sinA，b=2rsinB=sinB，
∴a²+b²=sin²A+sin²B=

1-cos2A

2

+

1-cos2B

2

=1-

1

2

[cos（

2π

3

+2α）+cos（

2π

3

-2α）]
=1+

1

2

cos2α．
由-

2π

3

＜2α＜

2π

3

，可得-

1

2

＜cos2α≤1，∴

3

4

＜1+

1

2

cos2α≤

3

2

，即a²+b²的取值范围为 （

3

4

，

3

2

]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系、余弦定理、余弦函数的定义域和值域、
两角和差的正弦公式，属于中档题．