Question

如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O。将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD=
3，得到三棱锥B-ACD，
（Ⅰ）若点M是棱BC的中点，求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-O的余弦值；
（Ⅲ）设点N是线段BD上一个动点，试确定N点的位置，使得CN=4，并证明你的结论。

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点， 所以O是AC的中点， 又点M是棱BC的中点， 所以OM是△ABC的中位线，OM∥AB， 因为平面ABD，平面ABD， 所以OM∥平面ABD。
（Ⅱ）解：由题意，OB=OD=3， 因为，所以∠BOD=90°，OB⊥OD， 又因为菱形ABCD，所以OB⊥AC，OD⊥AC， 建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示， ， 所以， 设平面ABD的法向量为（x，y，z）， 则有即：， 令x=1，则，所以， 因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD， 平面BOD的法向量与AC平行， 所以平面BOD的法向量为， ， 因为二面角A-BD-O是锐角， 所以二面角A-BD-O的余弦值为。
（Ⅲ）解：因为N是线段BD上一个动点，设，， 则， 所以， 则， 由得，即， 解得或， 所以N点的坐标为（0，2，1）或（0，1，2）。