Question

9．已知定圆M：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，动圆N过点F（$\sqrt{3}$，0）且与圆M相切，记圆心N的轨迹为C直线l过点E（-1，0）且与C于A，B
（Ⅰ）求轨迹C方程；
（Ⅱ）△AOB是否存在最大值，若存在，求出△AOB的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以N，F为焦点，长半轴长为2的椭圆，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）存在△AOB面积的最大值．由直线l过点E（-1，0），设直线l的方程为 x=my-1，联立椭圆方程，整理得（m²+4）y²-2my-3=0．由△=（2m）²+12（m²+4）＞0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．解得y₁=$\frac{m+2\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$，y₂=$\frac{m-2\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$．再换元，结合函数的单调性，由此能求出S_△AOB的最大值．

解答 解：（ I）易知点F（$\sqrt{3}$，0）在圆M：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16内，所以圆N内切于圆M，又圆M的半径为4，所以|NM|+|NF|=4＞2$\sqrt{3}$=|FM|，所以点N的轨迹C为椭圆，且2a=4，c=$\sqrt{3}$，所以b=1，
所以轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1         （4分）
（Ⅱ）存在△AOB面积的最大值．…（6分）
因为直线l过点E（-1，0），设直线l的方程为 x=my-1或y=0（舍）．
联立椭圆方程，整理得 （m²+4）y²-2my-3=0．…（7分）
由△=（2m）²+12（m²+4）＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
解得y₁=$\frac{m+2\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$，y₂=$\frac{m-2\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$．
则|y₂-y₁|=$\frac{4\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OE||y₂-y₁|=$\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+3}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+3}}}$ …（10分）
设g（t）=t+$\frac{1}{t}$，t=$\sqrt{{m}^{2}+3}$，t≥$\sqrt{3}$．
则g（t）在区间[$\sqrt{3}$，+∞）上为增函数．
所以g（t）≥$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
所以S_△AOB≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当且仅当m=0时取等号，所以S_△AOB的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（13分）

点评 本题考查曲线的轨迹方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．