Question

某同学在研究函数y=f（x）（x≥1，x∈R）的性质，他已经正确地证明了函数f（x）满足：f（3x）=3f（x），并且当1≤x≤3时，f（x）=1-|x-2|，这样对任意x≥1，他都可以求f（x）的值了．则
（1）f（8）=

 

；
（2）集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是

 

．

Answer 1

分析：（1）当3≤x≤9时，f（

x

3

）=1-|

x

3

-2|，得到f（

8

3

）=

1

3

，再根据f（3x）=3f（x），得到f（8）=3f（

8

3

）=1．
（2）根据题意，求出当3≤x≤9时的表达式，同理求出当9≤x≤27时、当27≤x≤81时和当81≤x≤243时的表达式，从而得到f（99）=-54，然后解方程f（x）=-54，即可得到集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素．

解答：解：（1）∵当1≤x≤3时，f（x）=1-|x-2|，
∴当3≤x≤9时，f（

x

3

）=1-|

x

3

-2|，可得f（

8

3

）=1-|

8

3

-2|=

1

3

，
又∵对任意x≥1，都有f（3x）=3f（x），
∴f（8）=3f（

8

3

）=1
（2）根据题意，得
当3≤x≤9时，f（x）=3f（

x

3

）=3-|3x-6|；
当9≤x≤27时，f（

x

3

）=3-|3•

x

3

-6|=3-|x-6|，此时f（x）=3f（

x

3

）=9-|3x-18|； 
当27≤x≤81时，f（

x

3

）=9-|3•

x

3

-18|=9-|x-18|，此时f（x）=3f（

x

3

）=27-|3x-54|； 
当81≤x≤243时，f（

x

3

）=27-|3•

x

3

-54|=27-|x-54|，此时f（x）=3f（

x

3

）=81-|3x-162|．
由此可得f（99）=81-|3×99-162|=-54
接下来解方程f（x）=-54：
当27≤x≤81时，27-|3x-54|=-54，得3x-54=±81，所以x=45（舍负）；
当9≤x≤27时，9-|3x-18|=-54，得3x-18=±63，找不到符合条件的x；
 当3≤x≤9时，3-|3x-6|=-54，得3x-6=±57，找不到符合条件的x．
因此集合M={x|f（x）=f（99）}中最小的元素是45
故答案为：1    45

点评：本题以一个特殊函数为例，叫我们讨论方程的最小正数解，着重考查了函数的定义、分段函数和方程根的分布等知识，属于基础题．