Question

点P是双曲线

y2

9

-

x2

16

=1的上支上的一点，F₁，F₂分别为双曲线的上、下焦点，则△PF₁F₂的内切圆圆心M的坐标一定适合的方程是（　　）

A．y=-3

B．y=3

C．x2+y2=5

D．y=3x2-2

Answer 1

∵双曲线的方程为

y2

9

-

x2

16

=1，


∴a²=9，b²=16，得c=

a2+b2

=5
设△PF₁F₂的内切圆分别与PF₁、PF₂切于点A、B，与F₁F₂切于点C，
则|PA|=|PB|，|F₁B|=|F₁C|，|F₂A|=|F₂C|，
又∵点P在双曲线上支上，
∴|PF₂|-|PF₁|=2a=6，
即（|F₂A|+|PA|）-（|F₁B|+|PB|）=6，化简得|F₂A|-|F₁B|=6，
即|F₂C|-|F₁C|=6，而|F₁C|+|F₂C|=2c=10，
设C点坐标为（0，λ），由|F₂C|-|F₁C|=6可得（λ+5）-（5-λ）=6
解之得λ=3，得C的坐标为（0，3）
∵圆M与F₁F₂切于点C，
∴CM⊥y轴，可得CM所在直线方程为y=3